# 纸带问题：一条布满小点的纸，怎么读出运动的所有秘密

作者：颓頹老师
来源：https://example.com/blog/paper-tape-analysis/
发布：2026-10-13T00:00:00.000Z
更新：2026-10-13T00:00:00.000Z

从打点计时器到逐差法，把纸带问题的读点、求速、求加速度一次讲透，公式带完整推导，高考实验题的元老级考点。

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先说个扎心的：孩子物理卷子上最冤的丢分，一多半在实验题；而实验题里丢分丢得最整齐的，常常是同一条老古董——打点计时器拉出来的那条纸带。

后台还真有家长留言问"纸带是什么"，先补一句：打点计时器固定在桌上，纸带一端绑在小车（或重物）上，通电后振针每 0.02 秒在纸上打一个点。物体一动，纸带跟着走，一串点就留下来了。纸带就是物体运动的自动签到表，每个点都带着时间和位置信息。

它是高考实验题的元老级考点，而且它的数据处理方法，光电门那篇说过，两套设备共用一套数学。今天把它一次讲透，公式全部带推导，孩子拿着文章能直接对一遍。

## 先认识这条纸：点里藏着时间轴

![电磁打点计时器与纸带，板书 T = 1/f](/blog-images/paper-tape-analysis/timer-setup.png)

看一条纸带，先找两样东西。

一是打点周期 T。市电频率 f = 50 Hz，振针每秒打 50 个点，打点周期是频率的倒数：

:::formula
T = {1/f} = {1/50} s = 0.02 s
:::

两个相邻点之间永远是 0.02 秒，不管小车跑多快。这是整条纸带唯一免费给你的信息。

二是计数点。0.02 秒太密，点挨得太近，刻度尺量不准。习惯上每 5 个间隔取一个计数点，相邻计数点之间的时间间隔：

:::formula
T′ = 5T = 5 × 0.02 s = 0.1 s
:::

注意题目怎么问的。说"每 5 个间隔取一个计数点"，T′ 就是 0.1 s；说"每 5 个点取一个计数点"，5 个点之间只有 4 个间隔，T′ = 4T = 0.08 s。这个文字坑几乎每年都有人掉进去。

![放大看纸带上的点：先数间隔，再定计数点](/blog-images/paper-tape-analysis/tape-dots-closeup.png)

## 第一步：算速度，全靠左右邻居

纸带上某一点的速度怎么求？用它的邻居。规则一句话：某段时间内的平均速度，等于中间时刻的瞬时速度。

设 B 点两侧相邻计数点为 A、C，AB 段位移为 x₁，BC 段位移为 x₂，时间间隔都是 T′。B 点速度推导如下，匀变速运动中，一段位移的平均速度等于初末速度的平均，也等于中间时刻的速度：

:::formula
v(B) = v̄(AC) = {x₁ + x₂ / 2T′}
:::

先看为什么 v̄(AC) 等于中间时刻速度。设 A 点速度 v(A)，加速度 a，则 C 点速度 v(C) = v(A) + 2aT′。AC 段平均速度：

:::formula
v̄(AC) = {v(A) + v(C) / 2}
:::

把 v(C) = v(A) + 2aT′ 代进去，分子合并同类项：

:::formula
v̄(AC) = {v(A) + v(A) + 2aT′ / 2} = {2v(A) + 2aT′ / 2}
:::

分子分母同除以 2，正好拆成两半：

:::formula
v̄(AC) = v(A) + aT′
:::

而 B 点是 AC 的中间时刻，v(B) = v(A) + aT′，两个结果完全一样。这就是"平均速度=中间时刻速度"的完整出身，匀变速里它是严格等式，高考这么算不叫近似，叫定理。

![重物拖着纸带自由下落，测 g 用的就是这套](/blog-images/paper-tape-analysis/freefall-setup.png)

## 第二步：逐差法，六个数据全员上岗

速度有了，加速度就是速度变化除以时间变化：

:::formula
a = {Δv / Δt}
:::

逐个算再取平均行不行？行，但亏。中间速度在式子里两两抵消，最后只剩首尾数据干活，偶然误差全压在两头。

正解是逐差法。设纸带连续 6 段位移为 x₁ 到 x₆，每段对应 T′。匀变速的基本性质先摆出来：相邻相等时间间隔内的位移差恒定，

:::formula
x₂ − x₁ = x₃ − x₂ = ⋯ = aT′² = Δx
:::

这条怎么来的？第 n 段位移的来历：匀变速位移公式展开后相减，推导如下：

:::formula
xₙ = v₀(nT′) + {1/2}a(nT′)² − v₀((n−1)T′) − {1/2}a((n−1)T′)²
:::

整理后就是：

:::formula
xₙ = v₀T′ + {1/2}a(2n − 1)T′²
:::

于是相邻两段相减：

:::formula
xₙ₊₁ − xₙ = {1/2}a(2n+1)T′² − {1/2}a(2n−1)T′² = aT′²
:::

差值与 n 无关，等差成立。

把 6 段分成两组，错位相减，每组的三个差各自等于 3aT′²：

:::formula
x₄ − x₁ = 3aT′²

x₅ − x₂ = 3aT′²

x₆ − x₃ = 3aT′²
:::

三式相加，左边是两组位移和的差，右边是 9aT′²，解出：

:::formula
a = {(x₄ + x₅ + x₆) − (x₁ + x₂ + x₃) / 9T′²}
:::

分母 9 从哪来一目了然：3 段一差，3 差相加。六个数据全部上岗，误差被摊薄，这就是逐差法的价值。上篇光电门留的尾巴，Δx = aT² 的户口，就落在刚才那两行推导里。

![纸带上点的间距从上到下均匀增大，说明是匀加速](/blog-images/paper-tape-analysis/freefall-analysis.png)

## 最高频考法：一条纸带测出 g

纸带最高频的考题是测 g。重物挂着纸带自由下落，按逐差法算出的加速度就是 g（严格说略小于 9.8，纸带和限位孔有摩擦，还有空气阻力）。

![数据处理落地：描 v-t 图像，斜率即加速度](/blog-images/paper-tape-analysis/vt-graph.png)

数据也可以描成 v-t 图像：按第一步算出各点速度，描点连线，斜率即加速度。图像法的好处是离谱的点一眼可见，直接舍弃。逐差法和图像法是纸带处理的左右手，高考都考过。

判断纸带是否匀加速也有快速体检法：算相邻段位移差，差值基本相等就是匀加速；差值越来越大，加速度在变，数据就得小心。

## 考场三句话，都是踩过的坑

第一，先看题问的是"每 5 个间隔"还是"每 5 个点"，定准 T′ 再动笔。第二，单位：纸带读数常给毫米，求 a 前换算成米，9T′² 里 T′ 用秒。第三，逐差法要凑偶数段，6 段最常见；只剩 5 段就舍弃最短的头一段（打点最密、相对误差最大），凑成 4 段用 4T′² 版本：

:::formula
a = {(x₃ + x₄) − (x₁ + x₂) / 4T′²}
:::

给孩子检查这道题，就问一句：你中间那几个速度算出来干嘛用的？答"求加速度用的"，说明逐差法还没通；答"不干嘛，逐差法直接用位移"，那就真懂了。

上一批讲过的[光电门](/blog/photogate-experiment/)用的也是同一套数学，两篇对着看更顺。

## 下期预告（先想 10 秒，别急着滑）

最后留个问题，想不通别硬刚：

> 斜面上的木块，重力明明竖直向下，算题时却要把它拆成两半分别算。为什么非得沿着斜面和垂直斜面这两个方向拆？不这么拆行不行？

提示：想想滑雪的人为什么顺着坡往下滑，而不是直直朝地心里钻……

答案和完整拆解，放在下一篇：《斜面上的力，为什么要拆开算？》。

## 最后碎碎念

> - 📌 点个关注，下期斜面分解直接推送给你，别让孩子错过；
> - 📌 转发到家长群，说不定就救下一个正对着纸带发呆的小孩；
> - 📌 评论区聊聊：你家孩子做纸带题，是卡在数间隔，还是卡在逐差法？点赞最高的，下期文章里出镜（说到做到）。

物理不秃，颓颓守护。下期见！